1.2 Operaciones fundamentales con números complejos

=Adicción =
Dados los complejos Z1 = (a;b) y Z2 = (c ;d). Se define Z1 + Z2 = (a; b) + (c; d) = (a +c; b+ d)


=Sustracción=
Se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo : Z1 + (-22) = (a; b) + (-c ; d) = (a – c ; b-d)


=Multiplicación=
Dados los complejos Z1 = (a ; b) y Z2 = (c ; d), se define Z1 * Z2 = (a*c-b*d; a*d + b*c)


=Potenciación=
La potenciacion de un numero complejo con potencia natural, se resuelve como una multiplicacion reiterada: Zn = (a ; b)n = (a ;b)1.(a ; b)2……(a ; b)n asociado de a dos pares los pares ordenados.


=Forma Binomica=
La forma Binomica de un numero complejo es: Z = a + bi


Operaciones de números complejos en su forma Binomica: La suma y diferencia de numeros complejos se realiza sumando y restando partes reales entre si y partes imaginarias entre si.

+(a +bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d) i
-(a +bi) - (c + di) = (a-c) + (b-d) i
=Multiplicación con números complejos=
El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = -1 (a + bi) – (c + di) = (ac-bd) + (ad + bc) i


=División con números complejos=
El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este.

=Ejemplo=
(3 + 2i) + 8-7-i) = (3-7) + (2i – i) = -4 + i


= (5 + 3i) + {(-1 + 2i) + (7-5i)}


=(5 + 3i) + {(-1 + 7) + (2i – 5i)}


= (5 + 3i) + (6 – 3i)


= (5 + 6) + (3i – 3i)


= 11

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1.1 Definicion y origen de los numeros complejos

Definición y origen de los números complejos

Un número complejo es un número de la forma z=a+bi , donde a y b son números reales e ''i'' es igual a raíz de -1. Utilizando el sistema de números reales, no es posible realizar la raíz cuadrada de un número negativo, por lo tanto I no debe considerarse un número real y además se le conoce como
unidad imaginaria
.
El uso de números complejos comenzó mucho antes que estos se definieran formalmente.

Antes no se solía usar el concepto de números complejos, porque si un número se elevaba al cuadrado, este no permanecía negativo. Pero el interés de los matemáticos fue en esta dirección cuando se encontraron con un problema interesante cuya solución no podía ser obtenida, el cual era algo como, x2 + 1 = 0. Aquí tenemos x2 = −1 y no llegamos a la solución, por lo tanto, los matemáticos definieron, con este propósito, un tipo de número, denominado número imaginario . Sin embargo, lo que algunas personas creen, algo muy sorprendente para muchos, es que los números complejos surgieron tras la necesidad de resolver las ecuaciones cúbicas, y no (como comúnmente se cree) las ecuaciones cuadráticas.

La referencia más importante según los registros se encontró en el año 1545 por Cardan. Cardan los encontró mientras investigaba las raíces polinómicas. Se dice que la ‘i’ se formó porque se convirtió en el requisito de los matemáticos. Al principio, durante el periodo inicial de las Matemáticas, la solución de un problema relacionado con la raíz cuadrada de un número negativo, por ejemplo: x2+1=0 era considerado imposible de resolver. Después de un tiempo, los expertos llegaron con el número iota para resolver tales ecuaciones.

L. Euler (1707–1783) introdujo la notación i =√−1,, y visualizó los números complejos como puntos con coordenadas rectangulares, pero no dió un fundamento satisfactorio para los números complejos. Euler usó la fórmula x + iy = r (cos θ + i sin θ) y visualizó las raíz de zn = 1 como vértices de un polígono regular. Definió el complejo exponencial, y demostró la identidad eiθ = cos θ + i sin θ.

Caspar Wessel, un noruego, fue el primero en obtener y publicar una presentación adecuada de los números complejos. Wess utilizó lo que conocemos hoy día como vectores. El usaba la suma geométrica de vectores (ley del paralelogramo) y definió la multiplicación de los vectores en los términos que hoy llamamos adición de los ángulos polares y multiplicación de las magnitudes.

Existe una gran cantidad de aplicaciones de los números complejos, especialmente en la industria eléctrica donde la misma definición de la fuente de corriente alterna se basa en sí en los números complejos, ya que esta incluye una fase de campo que es un componente angular.

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Emmanuel Martínez Hernández IGE 14260747

Unidad 1 Temario



1.1 Definicion y origen de los numeros complejos

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.

1.3 Potencias de "i", modulo o valor absoluto de un numero complejo.

1.4 Forma polar y exponencial de un numero complejo.

1.5 Teorema de Moivre, potencias y extracciones de raíces de un numero complejo.

1.6 Ecuaciones polinomicas.