4.1 DEFINICION DE ESPACIO VECTORIAL
Espacio vectorial real.
Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.
Notación. Si “x” y “y” están en V y si a es un número real, entonces la suma se escribe como
“x + y” y el producto escalar de a y x como ax.
Antes de presentar la lista de las propiedades que satisfacen los vectores en un espacio vectorial deben mencionarse dos asuntos de importancia. En primer lugar, mientras que puede ser útil pensar en R2 o R3 al manejar un espacio vectorial, con frecuencia ocurre que el espacio vectorial parece ser muy diferente a estos cómodos espacios (en breve tocaremos este tema). En segunda instancia, la definición 1 ofrece una definición de un espacio vectorial real. La palabra “real” significa que los escalares que se usan son números reales. Sería igualmente sencillo definir un espacio vectorial complejo utilizando números complejos en lugar de reales. Este libro está dedicado principalmente a espacios vectoriales reales, pero las generalizaciones a otros conjuntos de escalares presentan muy poca dificultad. [1]
Axiomas de un espacio vectorial. [1]
1- Si X pertenece a V y Y pertenece a V, entonces X+Y pertenece a V.
2- Para todo X, Y y Z en V, (x+y)+z = x(y+z).
3- Existe un vector |0 pertenece V tal que para todo X pertenece a V, X+0=0+X=X.
4- Si x pertenece a V, existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0.
5- Si X y Y están en V, entonces x+y=y+x.
6- Si x pertenece a V y a es un escalar, entonces ax pertenece a V.
7- Si X y Y están en V y a es un ecalar, entonces a(x+y)= ax + ay
8- Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces (a+b) x = ax+ by.
9- Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces a(bx) = (ab)x.
10- Para cada vector X pertenece a V, 1x = x.
4.2 DEFINICIÓN DE SUB-ESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES
Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V. Existen múltiples ejemplos de sub espacio, sin embargo, en primer lugar, se demostrará un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es en realidad sub espacio de V
Teorema de sub espacio
Un subconjunto no vacio de H de un espacio vectorial V es un sub espacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:
Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vació es un sub espacio
i) Si x € H y y € H, entonces x + y € H.
ii) Si x € H, entonces αx € H para todo escalar α.
Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura se deberán cumplir. De lo contrario, para demostrar que es un espacio vectorial, se deberá demostrar que los axiomas i) a x) de la definición cumplen bajo las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura [axiomas i) y iv)] se cumplen por hipótesis, como los vectores en H son también vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa, distributiva y multiplicativa [axiomas ii), v), vii), viii), ix) y x)] se cumplen.
Este teorema demuestra que para probar si H es o no es un sub espacio de V, es suficiente verificar que:
x + y y αX están en H cuando x y y están en H y α es un escalar.
PROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL
v 1). El vector cero de V está en H.2
v 2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en
H, la suma u + v está en H.
v 3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada
u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.
4.3 Combinación lineal Dependencia e Independencia lineal
Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares.
Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.
Esta combinación lineal es única.
Sean v1,v2,…,vn vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma:
α1v1+α2v2+…+αnvn
donde α1v1+α2v2+…+αnvn son escalares se denomina combinación lineal de v1,v2,…,vn.
Todo vector V = (a, b, c) en R3 se puede expresar como
i = (1,0,0);
j = (0,1,0);
k =(0,0,1)
V = (a, b, c) = a(i) + b(j) + c(k)
Entonces se dice que V es una combinación lineal de los 3 vectores i,j,k.
Los vectores son linealmente independientes si tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.
Un conjunto de vectores {v1,v2,…,vk} es un espacio vectorial V es linealmente dependiente si existen escalares c1,c2,…,ck, al menos uno de los cuales no es cero, tales que:
c1v1+c2v2+…+ckvk=0
Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.
Criterios de Independencia Lineal
Sean u1, u2, …,uk k vectores en Rn y A la matriz que tiene como columnas a estos vectores, los vectores son linealmente independientes si el sistema Ax = 0 tiene únicamente solución trivial.
Los vectores son linealmente dependientes si el sistema Ax=0 tiene soluciones no triviales (solución múltiple).
Si k=n
Los vectores son linealmente independientes si A es invertible
Si k>n
Los vectores son linealmente dependientes.
Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si uno de ellos es múltiplo escalar del otro.
Un conjunto de vectores linealmente independientes en n contiene a lo más n vectores.
Tres vectores en 3 son linealmente dependientes si y sólo si son coplanares, esto es, que están en un mismo plano.
Teoremas
1. Cualquier conjunto que contenga al vector 0 es linealmente dependiente.
2. Cualquier conjunto que contenga un único vector diferente de cero, v ≠0, es linealmente independiente.
3. Cualquier conjunto formado por dos vectores diferentes de cero, S = {v1, v2}, donde v1 ≠ 0, v2 ≠ 0, es linealmente dependiente si, y sólo si, uno de los vectores es múltiplo escalar del otro.
4. Cualquier conjunto que contenga un subconjunto linealmente dependiente es linealmente dependiente.
5. Cualquier subconjunto de un conjunto linealmente independiente es linealmente independiente.
4.4 BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL, CAMBIO DE BASE
Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares.
Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.
Esta combinación lineal es única.
Sean v1,v2,…,vn vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma:
α1v1+α2v2+…+αnvn
donde α1v1+α2v2+…+αnvn son escalares se denomina combinación lineal de v1,v2,…,vn.
Todo vector V = (a, b, c) en R3 se puede expresar como
i = (1,0,0); j = (0,1,0); k =(0,0,1)
V = (a, b, c) = a(i) + b(j) + c(k)
Entonces se dice que V es una combinación lineal de los 3 vectores i,j,k.
Los vectores son linealmente independientes si tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.
Un conjunto de vectores {v1,v2,…,vk} es un espacio vectorial V es linealmente dependiente si existen escalares c1,c2,…,ck, al menos uno de los cuales no es cero, tales que:
c1v1+c2v2+…+ckvk=0
Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.
Criterios de Independencia Lineal
Sean u1, u2, …,uk k vectores en Rn y A la matriz que tiene como columnas a estos vectores, los vectores son linealmente independientes si el sistema Ax = 0 tiene únicamente solución trivial.
Los vectores son linealmente dependientes si el sistema Ax=0 tiene soluciones no triviales (solución múltiple).
Si k=n
Los vectores son linealmente independientes si A es invertible
Si k>nLos vectores son linealmente dependientes.
Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si uno de ellos esmúltiplo escalar del otro.
Un conjunto de vectores linealmente independientes en n contiene a lo más n vectores.
Tres vectores en 3 son linealmente dependientes si y sólo si son coplanares, esto es, que están en un mismo plano.
Teoremas
1. Cualquier conjunto que contenga al vector 0 es linealmente dependiente.
2. Cualquier conjunto que contenga un único vector diferente de cero, v ≠0, es linealmente independiente.
3. Cualquier conjunto formado por dos vectores diferentes de cero, S = {v1, v2}, donde v1 ≠ 0, v2 ≠ 0, es linealmente dependiente si, y sólo si, uno de los vectores es múltiplo escalar del otro.
4. Cualquier conjunto que contenga un subconjunto linealmente dependiente es linealmente dependiente.
5. Cualquier subconjunto de un conjunto linealmente independiente es linealmente independiente.
4.5 Espacio vectorial con producto interno
Producto Interno:
Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna a cada par de vectores u y v en V un número real <u, v>.
Un producto interior sobre V es una función que asocia un número real ‹u, v› con cada par de vectores u y v cumple los siguientes axiomas:
Propiedades:
i. (v, v) ≥ 0
ii. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0.
iii, (u, v +w) = (u, v)+ (u, w)
iv. (u + v, w) = (u, w)+(v, w)
v. (u, v) = (v, u)
vi. (αu, v) = α(u, v)
vii. (u, αv) = α(u, v)
Espacios con producto interior:
El producto interior euclidiano es solo uno más de los productos internos que se tiene que definir en Rn Para distinguir entre el producto interno normal y otros posibles productos internos se usa la siguiente notación.
u ●v = producto punto (producto interior euclidiano para Rn)
‹u, v› = producto interno general para espacio vectorial V.
Propiedades de los productos interiores:
1. ‹0, v› = ‹v, 0› = 0
2. ‹u + v, w› = ‹u, w› + ‹v, w›
3. ‹u, cv› = c‹u, v›.
Un espacio vectorial con producto interno se denomina espacio con producto interno.
4.6 cambio de base, base ortonormal, proceso de ortonormalización Gram-Schmidt.♥
Cambio de base
El cambio de base consiste en conocidas las coordenadas de un vector respecto a una base B, encontrar las coordenadas de dicho vector con respecto a otra base B’.
TEOREMA (La inversa de la matriz de transición).Si P es la matriz de transición de una base B a una base B’ en , entonces Pes invertible y la matriz de transición de B’a B es .
TEOREMA (Matriz de transición de una base B a una base B’).
Seanydos bases de Rn, entonces la matriz de transición P-1 de B a B’ puede determinarse mediante eliminación de Gauss – Jordan en la matriz como se muestra a continuación.
En la matriz B’ representa la matriz que tiene por columnas las componentes de los vectores de la base B’ respectivamente, de forma similar B representa la matriz que tiene por columnas las componentes de los vectores de la base B respectivamente.
Base ortonormal
En álgebra lineal, una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio de Hilbert H, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria. Una base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto por un escalar apropiado y de hecho, esta es la forma habitual en la que se obtiene una base ortonormal: por medio de una base ortogonal.
Así, una base ortonormal es una base ortogonal, en la cual la norma de cada elemento que la compone es unitaria.
Estos conceptos son importantes tanto para espacios de dimensión finita como de dimensión infinita. Para espacios de dimensión finita, la condición de span denso es la misma que la de 'span', como se usa en álgebra lineal.
Una base ortonormal por lo general no es una "base", es decir, en general no es posible escribir a cada elemento del espacio como una combinación lineal de un número finito de elementos de la base ortonormal. En el caso de dimensión infinita, esta distinción cobra importancia: la definición dada requiere solo que el span de una base ortonormal sea densa en el espacio vectorial, y no que iguale al espacio entero.
Una base ortonormal de un espacio vectorial V no tiene sentido si el espacio no posee un producto interno. Un Espacio de Banach no tendrá una base ortonormal a no ser que sea unespacio de Hilbert.
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