DONALD EN EL PAÍS DE LAS MATEMÁTICAS

1.6 Ecuaciones polinómicas.

CONCEPTO ECUACION POLINOMICA


Una raíz del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0. Un resultado importante de esta definición es que todos los polinomios de grado n tienen exactamente n soluciones en el campo complejo, esto es, tiene exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. A esto se lo conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado. Por esto los matemáticos consideran a los números complejos unos números más naturales que los números reales a la hora de resolver ecuaciones.


¿Cómo resolver una ecuación de primer grado?
Para la resolución de ecuaciones de primer grado podríamos definir un esquema con los pasos necesarios. Para empezar comencemos con una ecuación de primer grado sencilla: 9x − 9 + 108x − 6x − 92 = 16x + 28 + 396 Nuestro objetivo principal es dejar sola la x en uno de los términos, el izquierdo o el derecho.






1- TRANSPOSICIÓN






Lo primero que debemos hacer es colocar los términoscon X en un lado, y los números enteros en otro. Para ello, podemos ver que hay algunos números que tendremos que pasarlos al otro termino. Esto lo podemos hacer teniendo en cuenta que: Si el número esta restando (Ej: −6): Pasa al otro lado sumando (+6) Si el número esta sumando (Ej: +9): Pasa al otro lado restando (−9) Si el número esta multiplicando (Ej: •2) Pasa al otro lado dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2) Si el número esta dividiendo (en forma fraccionaria) (Ej: n/5) Pasa al otro lado multiplicando (•5) Una vez hemos pasado todos los términos en nuestra ecuación, esta quedaría así: 9x + 108x − 6x − 16x = 28 + 396 + 9 + 92 Como podrás comprobar todos los monomios con X han quedado a la izquierda del signo igual, y todos los números enteros se han quedado en la derecha.






SIMPLIFICACIÓN:






Nuestro siguiente objetivo es convertir nuestra ecuación en otra equivalente más simple y corta, por lo que realizaremos la operación de polinomios que se nos plantea Es decir en nuestro caso, por un lado realizamos la operación: 9x+108x-6x-16x Y por otro lado: 28+396+9+92 De forma que nuestra ecuación pasaría a ser esta: 95x = 475






DESPEJAR:









Ahora es cuando debemos cumplir nuestro objetivo final, dejar la X completamente sola, para ello volveremos a recurrir a la transposición. Es decir, en nuestra ecuación deberíamos pasar el 95 al otro lado, y, como está multiplicando, pasa dividiendo: x = 475 / 95 Comprueba que el ejercicio ya está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que nos dice que la x ocultaba el número 475/95. Lo desarrollamos y obtenemos nuestro resultado.

1.5 Teorema de Moivre, potencias y extracciones de raíces de un número complejo.

El teorema de Moivre,– Laplace, trata de aproximar una distribución binomial a una normal. Se trata de un caso particular del Teorema central del límite.


En el fondo no es más que la forma más elemental del Teorema Central del Límite, el cual viene a precisar la Ley de los Grandes Números.


Fórmula para calcular las potencias zn de un número complejo z. El teorema de De Moivre establece que si un número complejo z = r(cos x + i sin x), entonces zn = rn(cos nx + i sin nx), en donde n puede ser enteros positivos, enteros negativos, y exponentes fraccionarios.


FÓRMULA DE MOIVRE




Aplicando la propiedad de la potencia de un número complejo, se obtiene la siguiente fórmula llamada Fórmula de Moivre:
(cos a + i sen a)n = cos na + i sen na
que es útil en trigonometría, pues permite hallar cos na y sen na en función de sen a y cos a.
Esta igualdad recibe el nombre de fórmula de Moivre, en honor del matemático francés Abraham de Moivre (1667-1754).






POTENCIA


La potencia es un producto de factores iguales, por tanto la regla es la misma que la de multiplicar.
El módulo se eleva a n
El argumento se multiplica por n






RADICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
La operación de radicación es inversa a la de potenciación
Para un único número complejo zn , existen varios complejos z, que al elevarlos a la potencia n, nos da el mismo complejo zn.
Para hallar las raíces de un número complejo se aplica la fórmula de Moivre, teniendo en cuenta que para que dos complejos coincidan han de tener el mismo módulo y la diferencia de sus argumentos ha de ser un múltiplo entero de 360º.
Sea Ra un número complejo y considérese otro complejo R'a', tal que:

Ra = (R' a' )n = ((R' )n )n a'

Aunque esto parece aportar una infinidad de soluciones, nótese que si a k se le suma un múltiplo de n, al dividir el nuevo argumento, éste aparece incrementado en un número entero de circunferencias. Por tanto, basta con dar a k los valores 1, 2, 3, ..., n-1, lo que da un total de n - 1 raíces, que junto a k = 0 da un total de n raíces.







RAÍZ CUADRADA
Vamos a hallar :
Primero pasamos z=4+3i a forma polar:
z = 4+3i = 536.9º
La raíz cuadrada de z, tendrá de módulo la raíz cuadrada del módulo de z y de argumento, el de z dividido por 2.
Las dos soluciones de esta raíz cuadrada son:
Si k=0 --> z1=18.4º
Si k=1 --> z2=198.4º
Si le seguimos dando valores a k = 2, 3, 4, ... veremos que las soluciones que salen coinciden con las ya mencionadas, después de haber dado 1, 2, 3, ... vueltas a la circunferencia.
Todas estas operaciones que hemos hecho las puedes ver en la escena, y ver como quedan los vectores, tanto de z como de z1 y z2
RAÍZ CÚBICA
Primero pasamos z = 2+4i a forma polar: z = 2+4i = 4.563.4º
La raíz cúbica de z, tendrá de módulo la raíz cúbica del módulo de z y de argumento, el de z dividido por 3.
Las tres soluciones de esta raíz cúbica son:
Si k=0 --> z1=1.621.1º
Si k=1 --> z2=1.6141.1º
Si k=2 --> z3=1.6261.1º

1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo.

Un número complejo se representa generalmente en forma rectangular, es decir, en la forma de a + bi. De esta forma, a es considerada como el ancho del rectángulo, y b como la altura del mismo. Sin embargo, los números complejos también pueden expresarse en forma polar o exponencial. La forma polar se expresa como r θ y generalmente se leído r en un ángulo θ.








‘r’ denota la magnitud de los números complejos y representa la distancia de los números del origen cuando se toman en el sentido de las manecillas del reloj, a través del lado no negativo del eje real.


Ahora veamos la conversión de la forma polar a la rectangular:


Las fórmulas utilizadas para estas conversiones son:













Y a la inversa, la conversión de rectangular a polar:










Estas fórmulas se pueden utilizar. Ahora, veamos las operaciones de multiplicación y división en la forma polar: Regla de la multiplicación: En la multiplicación de dos números complejos, las respectivas magnitudes y los ángulos son sumados. Regla de la División: En ella, las magnitudes se dividen y los ángulos se restan con el fin de encontrar el cociente. Aparte de la forma polar y rectangular, los números complejos también pueden representarse en forma exponencial. Esto es en la forma r e i θ. Aquí ‘e’ es el exponente y tiene un valor igual a 2.71828…. -

1.3 Potencias de "i", modulo o valor absoluto de un numero complejo.

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión: Si pensamos en z como un punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano. Si el complejo está escrito en forma polar z = r eiφ, entonces |z| = r. Podemos comprobar con facilidad estas tres importantes propiedades del valor absoluto para cualquier complejo z y w. Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z – w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.


Modulo de un vector
Se llama módulo de un complejo a la longitud del vector que lo representa, lo designaremos por ½ Z½ o simplemente por r. Su valor se obtiene por la conocida relación: ½ Z1½ = r = Que es la relación que nos permite determinar la longitud de un vector. Sea Z un número complejo. Explique como determinar Sea Z= a +bi.


La raíz cuadrada del complejo a + bi será otro complejo que llamaremos x + yi: = x + yi = x + yi (])


Elevando ambos miembros al cuadrado y reduciendo términos:


a + bi = x2 + 2xyi + y2i2


a + bi = x2 + 2xyi + y2 (−1)


a + bi = (x2 – y2) + 2xyi


Igualando partes reales y partes imaginarias se forma el siguiente sistema: Despejando “y” en ( ]]] ): Sustituyendo este valor en ( ]] ): Expresando en términos de X2:


Tomamos únicamente el valor positivo, pues es mayor que “a” y x2 no puede ser negativo. Además = S


En la ecuación ( ]]] ) podemos observar que “b” tiene el mismo signo que el producto “xy”. Por lo tanto, si “b” es positivo “x” e “y” serán de igual signo y tendremos que: Para b > 0 Para b < 0


Como los signos que deben tomarse para X e Y deben satisfacer la ecuación 2XY= b, hay que hacer las siguientes consideraciones:


Para b > 0: Las raíces deben ser; ambas del mismo signo: positivas o negativas (+,+), (- , -) Para b < 0: Las raíces, se toman con signos opuestos :(+,-),(-, +).






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